Question

如图，已知ABCD是正方形；P是平面ABCD外一点，且PA⊥面ABCD，PA=AB=3．求：
（1）二面角P-CD-A的大小．
（2）三棱锥P-ABD的体积．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积,异面直线及其所成的角

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）连结AC，BD，由正方形性质得AC⊥BD，由线面垂直得BD⊥PA，从而BD⊥平面PAC，由此能求出BD与PC的夹角为90°．
（2）由已知条件得PA是三棱锥P-ABD的高，由此能求出三棱锥P-ABD的体积．

解答： 解：（1）连结AC，BD，
∵ABCD是正方形，∴AC⊥BD，
∵PA⊥面ABCD，BD?平面ABCD，
∴BD⊥PA，
∵AC∩PA=A，
∴BD⊥平面PAC，
∵PC?平面PAC，∴BD⊥PC，
∴BD与PC的夹角为90°．
（2）∵ABCD是正方形，P是平面ABCD外一点，
且PA⊥面ABCD，PA=AB=3，
∴三棱锥P-ABD的体积：
V=

1

3

×S△ABD×PA
=

1

3

×

1

2

×3×3×3
=

9

2

．

点评：本题考查异面直线的夹角的求法，考查三棱锥的体积的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．