Question

如图，已知斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面是正三角形，点M、N分别是A₁C₁和A₁B₁的中点，AA₁=AB=BM=2，∠A₁AB=60°．
（Ⅰ）求证：BN⊥平面A₁B₁C₁；
（Ⅱ）求二面角A₁-AB-M的正切值．

Answer 1

考点：与二面角有关的立体几何综合题,直线与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（Ⅰ）连结A₁B和MN，由已知条件推导出BN⊥A₁B₁，BN⊥MN，由此能证明BN⊥平面A₁B₁C₁．
（Ⅱ）连结C₁N，取A₁N中点P，连结MP，过点P作PQ⊥AB于点Q，连MQ，由已知条件推导出∠MQP是二面角A₁-AB-M的平面角，由此能求出二面角A₁-AB-M的正切值．

解答： （Ⅰ）证明：连结A₁B和MN，
∵ABB₁A₁是菱形，∠A₁AB=60°，
∴△ABB₁是正三角形，
∵N是A₁B₁的中点，∴BN⊥A₁B₁，
∵AA₁=AB=BM=2，M是A₁C₁的中点，
∴BN=3，MN=1，∴MN²+BN²=BM²，
∴BN⊥MN，
又A₁B₁∩MN=N，
∴BN⊥平面A₁B₁C₁．
（Ⅱ）解：连结C₁N，取A₁N中点P，连结MP，
过点P作PQ⊥AB于点Q，连MQ，
∵△A₁B₁C₁是正三角形，N是A₁B₁的中心，
∴C₁N⊥A₁B₁，∵BN⊥平面A₁B₁C₁，
∴C₁N⊥BN，
∵MP∥C₁N，∴MP⊥平面ABB₁A₁，
又PQ⊥AB，∴MQ⊥AB，
∴∠MQP是二面角A₁-AB-M的平面角，
在Rt△MQPk，MP=

1

2

C1N=

3

2

，PQ=BN=

3

，
∴tan∠MQP=

MP

PQ

=

1

2

，
∴二面角A₁-AB-M的正切值为

1

2

．

点评：本题考查直线与平面垂直的证明，考查二面角的正切值的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．