Question

已知定义域为[0，1]上的函数f（x）=1-|1-2x|和g（x）=（x-1）²，且记min{x₁、x₂、x₃…、x_n}为x₁、x₂、x₃…、x_n中的最小值．
（1）求F（x）=min{f（x），g（x）}的函数解析式；
（2）求F（x）的值域．

Answer 1

考点：函数解析式的求解及常用方法,函数的值域

专题：函数的性质及应用

分析：（1）先取绝对值，化为分段函数，再求出函数的图象的交点，得到函数f（x）与g（x）的大小关系，继而求出函数F（x）的解析式，
（2）由图象可知函数的值域．

解答： 解：（1）当x≥

1

2

，f（x）=1-2x+1=2-2x
当x＜

1

2

时，f（x）=1-1+2x=2x
联立f（x），和g（x）
解得交点为：x=1，x=2-

3

由图可知
当x＜2-

3

，f（x）＜g（x）
当2-

3

≤x＜1时，g（x）＜f（x）
当x≥1时，f（x）＜g（x）
所以，又定义域为[0，1]
F（x）=

2x，0≤x＜2- 3 (x-1)2，2- 3 ≤x≤1

（2）由图可知最大值在x=2-

3

时取得，
则最大值为（2-

3

-1）²=4-2

3

所以值域为：[0，4-2

3

]

点评：本题考查了函数的解析式的求法，和函数的值域，关键是画出函数的图象，得到了个函数的关系，属于中档题