Question

过双曲线C：

x2

4

-

y2

9

=1的左焦点作倾斜角为

π

6

的直线l，则直线l与双曲线C的交点情况是（　　）

• A、没有交点
• B、只有一个交点
• C、两个交点都在左支上
• D、两个交点分别在左、右支上

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：计算题,直线与圆,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：求出直线方程，联立双曲线方程，消去y，得到x的方程，运用判别式和韦达定理，即可得到．

解答： 解：双曲线C：

x2

4

-

y2

9

=1的a=2，b=3，
则c=

a2+b2

=

13

，
左焦点为（-

13

，0），
过左焦点作倾斜角为

π

6

的直线l的方程为y=

3

3

（x+

13

），
代入双曲线方程，可得，
23x²-8

13

x-160=0，
则判别式△=64×13+4×23×160＞0，
x₁+x₂=

8 13

23

，x₁x₂=-

160

23

，
则直线和双曲线有两个交点，且为左右两支各一个，
故选D．

点评：本题考查直线和双曲线的位置关系，考查直线方程和双曲线方程联立，消去未知数，运用韦达定理和判别式，考查运算能力，属于基础题．