Question

某校高一年级共有320人，为调查高一年级学生每天晚自习自主支配学习时间（指除了完成老师布置的作业后学生根据自己的需要进行学习的时间）情况，学校采用随机抽样的方法从高一学生中抽取了n名学生进行问卷调查．根据问卷得到了这n名学生每天晚自习自主支配学习时间的数据（单位：分钟），按照以下区间分为七组：①[0，10），②[10，20），③[20，30），④[30，40），⑤[40，50），⑥[50，60），⑦[60，70），得到频率分布直方图如图．已知抽取的学生中每天晚自习自主支配学习时间低于20分钟的人数是4人．
（1）求n的值；
（2）若高一全体学生平均每天晚自习自主支配学习时间少于45分钟，则学校需要减少作业量．根据以上抽样调查数据，学校是否需要减少作业量？（注：统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值作为代表）

Answer 1

考点：频率分布直方图

专题：图表型,概率与统计

分析：（1）根据频率=小矩形的高×组距求得第1组和第2组的频率之和，再根据样本容量=

频数

频率

求得样本容量；
（2）计算各个小矩形底边中点的横坐标乘以对应小矩形的面积之和，可得数据的平均数，判断与45的大小可得答案．

解答： 解：（1）由直方图得第1组和第2组的频率之和为0.002×10+0.006×10=0.08，
则n×0.08=4，解得n=50；
（2）由频率分布直方图得数据的平均数为（5×0.002+15×0.006+25×0.03+35×0.04+45×0.012+55×0.008+65×0.002）×10=33.6＜45．
则高一学生每天平均自主支配时间是33.6分钟，少于45分钟，
∴则学校需要减少作业量．

点评：本题考查了频率分布直方图，考查了样本数据的平均数的求法，在频率分布直方图中频率=小矩形的面积=

频数

样本容量

；样本数据的平均数=各个小矩形底边中点的横坐标乘以对应小矩形的面积之和．