题目内容
在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，且4bsinA=
a．
（Ⅰ）求sinB的值；
（Ⅱ）若a，b，c成等差数列，且公差大于0，求cosA-cosC的值．
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（Ⅰ）求sinB的值；
（Ⅱ）若a，b，c成等差数列，且公差大于0，求cosA-cosC的值．
考点：正弦定理,等差数列的性质
专题：三角函数的求值
分析：（I）已知等式利用正弦定理化简，求出sinB的值即可；
（Ⅱ）由a，b，c成等差数列，利用等差数列的性质列出关系式，利用正弦定理化简得到①，设设cosA-cosC=x，②，①2+②2，得到③，由a，b，c的大小判断出A，B，C的大小，确定出cosA大于cosC，利用诱导公式求出cos（A+C）的值，代入③求出x的值，即可确定出cosA-cosC的值．
（Ⅱ）由a，b，c成等差数列，利用等差数列的性质列出关系式，利用正弦定理化简得到①，设设cosA-cosC=x，②，①2+②2，得到③，由a，b，c的大小判断出A，B，C的大小，确定出cosA大于cosC，利用诱导公式求出cos（A+C）的值，代入③求出x的值，即可确定出cosA-cosC的值．
解答：
解：（Ⅰ）由4bsinA=
a，根据正弦定理得4sinBsinA=
sinA，
∵sinA≠0，
∴sinB=
；
（Ⅱ）∵a，b，c成等差数列，
∴2b=a+c，
由正弦定理化简得：2sinB=sinA+sinC，即sinA+sinC=
，①
设cosA-cosC=x，②
①2+②2，得2-2cos（A+C）=
+x2，③
又a＜b＜c，A＜B＜C，
∴0＜B＜90°，cosA＞cosC，
∴cos（A+C）=-cosB=-
，
代入③式得x2=
，
则cosA-cosC=
．
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∵sinA≠0，
∴sinB=
| ||
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（Ⅱ）∵a，b，c成等差数列，
∴2b=a+c，
由正弦定理化简得：2sinB=sinA+sinC，即sinA+sinC=
| ||
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设cosA-cosC=x，②
①2+②2，得2-2cos（A+C）=
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| 4 |
又a＜b＜c，A＜B＜C，
∴0＜B＜90°，cosA＞cosC，
∴cos（A+C）=-cosB=-
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代入③式得x2=
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| 4 |
则cosA-cosC=
| ||
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点评：此题考查了正弦定理，等差数列的性质，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．
练习册系列答案
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在△ABC中，AB=AC=2，∠B=30°，P为BC边中线上的任意一点，则
•
的值为（ ）
| CP |
| BC |
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