Question

长方体的一条对角线和同一顶点上的三条棱中的两条所成的角为60°、45°，则它和另一条棱所成的角为（　　）

• A、30°
• B、60°
• C、45°
• D、不确定

Answer 1

考点：异面直线及其所成的角

专题：空间位置关系与距离

分析：作出长方体，取对角线A₁C，连接AC、D₁C、B₁C，不妨设对角线A₁C与棱A₁D₁所成的角∠CA₁D₁=45°，对角线A₁C与棱A₁B₁所成的角∠CA₁B₁=60°，设A₁D₁=a，由三角形的知识可表示出AC和A₁C，由三角函数的定义可得所求角的正弦值，可得答案．

解答： 解：如图，取对角线为A₁C，连接AC、D₁C、B₁C，
不妨设对角线A₁C与棱A₁D₁所成的角∠CA₁D₁=45°，
对角线A₁C与棱A₁B₁所成的角∠CA₁B₁=60°，
设A₁D₁=a，在RT△CA₁D₁中可得A₁C=

2

a，
同理在RT△CA₁B₁中可得A₁B₁=

2

2

a，
可得AC=

a2+( 2 2 a)2

=

6

2

a，
∴在△A₁AC中，sin∠AA₁C=

AC

A1C

=

3

2

，
∴∠AA₁C=60°，即该对角线和另一条棱所成的角为60°
故选：B

点评：本题考查异面直线所成的角，涉及三角形的求解，属中档题．