Question

6．如图，AB为⊙O的直径，∠ABD=90°，线段AD交半圆于点C，过点C作半圆切线与线段BD交于点M，与线段BA延长线交于点F．
（Ⅰ）求证：M为BD的中点；
（Ⅱ）已知AB=4，AC=$\frac{2\sqrt{30}}{5}$，求AF的长．

Answer 1

分析 （Ⅰ）运用切线长定理和切线的性质，以及等腰三角形的性质，即可得证；
（Ⅱ）由FC是半圆的切线，运用弦切角定理，运用相似三角形的判定定理可得△FCB∽△FAC，再由相似三角形的性质和圆的切割线定理，计算即可得到所求AF的长．

解答 解：（Ⅰ）由MB，MC分别为半圆的切线，可得MC=MB，
连结BC，由已知得BC⊥CD，
由∠MCB=∠MBC且∠MCB+∠DCM=∠CBM+∠CDM，
即有∠DCM=∠CDM，DM=CM，
又CM=MB，可得DM=DB，M为BD的中点；
（Ⅱ）由FC是半圆的切线，
由弦切角定理有∠FBC=∠FCA，且∠CFB=∠AFC，
∴△FCB∽△FAC，∴$\frac{FC}{AF}$=$\frac{BC}{AC}$，∴FC=$\frac{AF•BC}{AC}$，
由切割线定理知FC²=FA•FB，
∴$\frac{A{F}^{2}•B{C}^{2}}{A{C}^{2}}$=FA•FB，
由AB=4，AC=$\frac{2\sqrt{30}}{5}$，
∴AF=$\frac{A{C}^{2}•FB}{B{C}^{2}}$=$\frac{A{C}^{2}•（FA+4）}{A{B}^{2}-A{C}^{2}}$=$\frac{\frac{24}{5}（AF+4）}{16-\frac{24}{5}}$，
解得AF=3．

点评 本题考查圆的切线的性质、切割线定理和弦切角定理、勾股定理的运用，考查相似三角形的判定定理和性质定理的运用，考查推理和运算能力，属于中档题．