Question

15．如图，四边形ABCD是圆O的内接四边形，AB是圆O的直径，BC=CD，AD的延长线与BC的延长线交于点E，过C作CF⊥AE，垂足为点F
（Ⅰ）证明：CF是圆O的切线；
（Ⅱ）若BC=4，AE=9，求CF的长．

Answer 1

分析 （Ⅰ）连接OC，AC，证明：AE∥OC，利用CF⊥AE，可得CF⊥OC，即可证明CF是圆O的切线；
（Ⅱ）由割线定理：EC•EB=ED•EA，且AE=9，得$ED=\frac{32}{9}$，利用勾股定理求CF的长．

解答 （Ⅰ）证明：连接OC，AC，
∵BC=CD，
∴∠CAB=∠CAD．…1分
∵AB是圆O的直径，
∴OC=OA．
∴∠CAB=∠ACO．…2分
∴∠CAD=∠ACO．
∴AE∥OC．…3分
∵CF⊥AE，
∴CF⊥OC．…4分
∴CF是圆O的切线．…5分
（Ⅱ）解：∵AB是圆O的直径，
∴∠ACB=90°，即AC⊥BE．
∵∠CAB=∠CAD，
∴点C为BE的中点．
∴BC=CE=CD=4．…6分
由割线定理：EC•EB=ED•EA，且AE=9．…7分
得$ED=\frac{32}{9}$．…8分
在△CDE中，CD=CE，CF⊥DE，则F为DE的中点．
∴$DF=\frac{16}{9}$．…9分
在Rt△CFD中，$CF=\sqrt{C{D^2}-D{F^2}}=\sqrt{{4^2}-{{（{\frac{16}{9}}）}^2}}=\frac{{4\sqrt{65}}}{9}$．…10分
∴CF的长为$\frac{{4\sqrt{65}}}{9}$．

点评 本题考查圆的切线的证明，考查割线定理、勾股定理的运用，属于中档题．