Question

14．在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知在极坐标系中，A（3$\sqrt{3}$，$\frac{π}{2}$），B（3，$\frac{π}{3}$），圆C的方程为ρ=2cosθ．
（1）求在平面直角坐标系xOy中圆C的标准方程；
（2）已知P为圆C上的任意一点，求△ABP面积的最大值．

Answer 1

分析 （1）由x=ρcosθ，y=ρsinθ，x²+y²=ρ²，可得圆的直角坐标方程；
（2）求得A，B的直角坐标，即可得到直线AB的方程；求得AB的距离和圆C和半径，求得圆C到直线AB的距离，由圆C上的点到直线AB的最大距离为d+r，运用三角形的面积公式，即可得到所求最大值．

解答 解：（1）由ρ=2cosθ，可得：ρ²=2ρcosθ，所以x²+y²=2x
故在平面直角坐标系中圆的标准方程为：（x-1）²+y²=1   …（5分）
（2）在直角坐标系中A（0，3$\sqrt{3}$），B（$\frac{3}{2}$，$\frac{3\sqrt{3}}{2}$）
所以|AB|=$\sqrt{（\frac{3}{2}-0）^{2}+（\frac{3\sqrt{3}}{2}-3\sqrt{3}）^{2}}$=3，直线AB的方程为：$\sqrt{3}$x+y=3$\sqrt{3}$
所以圆心到直线AB的距离d=$\frac{|\sqrt{3}-3\sqrt{3}|}{\sqrt{3+1}}$=$\sqrt{3}$，又圆C的半径为1，
所以圆C上的点到直线AB的最大距离为$\sqrt{3}$+1
故△ABP面积的最大值为S=$\frac{1}{2}×（\sqrt{3}+1）×3$=$\frac{3\sqrt{3}+3}{2}$       …（10分）

点评 本题考查极坐标方程和直角坐标方程的互化，直线和圆方程的运用，注意运用圆上的点到直线的距离的最值，考查运算求解能力，考查化归与转化思想等．