Question

12．已知函数h（x）=$\frac{1}{3}{x^3}$-ax²+1，设f（x）=h'（x）-2alnx，g（x）=ln²x+2a²，其中x＞0，a∈R．
（1）若f（x）在区间（2，+∞）上单调递增，求实数a的取值范围；
（2）记F（x）=f（x）+g（x），求证：F（x）≥$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 （1）求得h（x）导函数h'（x），代入求得f（x）的解析式，f（x）在区间（2，+∞）上单调递增，可知f′（x）≥0，在区间（2，+∞）上恒成立，即$a≤\frac{x^2}{x+1}$在x∈（2，+∞）上恒成立．构造辅助函数求导，利用导数求得函数的最小值，即可求得a的取值范围；
（2）由（1）求得F（x）的解析式．进一步化解，构造辅助函数，求导，利用导数求的函数的单调区间及最小值，即可求得F（x）≥$\frac{1}{2}$．

解答 解：（1）函数$h（x）=\frac{1}{3}{x^3}-a{x^2}+1$，h'（x）=x²-2ax，
函数f（x）=h'（x）-2alnx，
∴f（x）=x²-2ax-2alnx，
∵f（x）在区间（2，+∞）上单调递增，
∴$f'（x）=\frac{{2{x^2}-2ax-2a}}{x}≥0$在区间（2，+∞）上恒成立，
∴$a≤\frac{x^2}{x+1}$在x∈（2，+∞）上恒成立．
令$M（x）=\frac{x^2}{x+1}$，则$M'（x）=\frac{{2x（x+1）-{x^2}}}{{{{（x+1）}^2}}}=\frac{{{x^2}+2x}}{{{{（x+1）}^2}}}$，
当x∈（2，+∞）时，M'（x）＞0，所以$M（x）=\frac{x^2}{x+1}＞M（2）=\frac{4}{3}$，
∴实数a的取值范围为$（-∞，\frac{4}{3}]$．
（2）证明：$F（x）={x^2}-2ax-2alnx+{ln^2}x+2{a^2}=2[{a^2}-（x+lnx）a+\frac{{{x^2}+{{ln}^2}x}}{2}]$，
令$P（a）={a^2}-（x+lnx）a+\frac{{{x^2}+{{ln}^2}x}}{2}$，
则$P（a）={（a-\frac{x+lnx}{2}）^2}-{（\frac{x+lnx}{2}）^2}+\frac{{{x^2}+{{ln}^2}x}}{2}={（a-\frac{x+lnx}{2}）^2}+{（\frac{x-lnx}{4}）^2}≥{（\frac{x-lnx}{4}）^2}$．
令Q（x）=x-lnx，则$Q'（x）=1-\frac{1}{x}=\frac{x-1}{x}$，
显然Q（x）在区间（0，1）上单调递减，在区间[1，+∞）上单调递增，则Q（x）_min=Q（1）=1，
则$P（a）≥\frac{1}{4}$，故$F（x）≥2×\frac{1}{4}=\frac{1}{2}$．

点评 本题考查函数的极值与导函数的关系，考查函数的单调性与导数的关系，函数与不等式、导数结合，考查计算能力，属于难题．