Question

1．以直角坐标系xoy的坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标，曲线C₁的极坐标方程是ρ=$\frac{6}{\sqrt{4+5si{n}^{2}θ}}$，曲线C₂的参数方程是$\left\{\begin{array}{l}{x=2+2cosθ}\\{y=2+2sinθ}\\{\;}\end{array}\right.$（θ为参数）
（1）写出曲线C₁，C₂的普通方程；
（2）设曲线C₁与y轴相交于A，B两点，点P为曲线C₂上任一点，求|PA|²+|PB|²的取值范围．

Answer 1

分析 （1）曲线C₁的极坐标方程是ρ=$\frac{6}{\sqrt{4+5si{n}^{2}θ}}$，两边平方可得：4ρ²+5ρ²sin²θ=36，利用$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$，ρ²=x²+y²即可得出普通方程．曲线C₂的参数方程是$\left\{\begin{array}{l}{x=2+2cosθ}\\{y=2+2sinθ}\\{\;}\end{array}\right.$（θ为参数），利用cos²θ+sin²θ=1，可得普通方程．
（2）由（1）可得：A，B的坐标分别为：（0，2），（0，-2），设P（2+2cosθ，2+2sinθ），可得|PA|²+|PB|²=32+16$\sqrt{2}$$sin（θ+\frac{π}{4}）$，即可得出．

解答 解：（1）曲线C₁的极坐标方程是ρ=$\frac{6}{\sqrt{4+5si{n}^{2}θ}}$，两边平方可得：4ρ²+5ρ²sin²θ=36，
可得普通方程：4x²+9y²=36，即$\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{4}$=1．
曲线C₂的参数方程是$\left\{\begin{array}{l}{x=2+2cosθ}\\{y=2+2sinθ}\\{\;}\end{array}\right.$（θ为参数），
利用cos²θ+sin²θ=1，可得普通方程：（x-2）²+（y-2）²=4．
（2）由（1）可得：A，B的坐标分别为：（0，2），（0，-2），
设P（2+2cosθ，2+2sinθ），
∴|PA|²+|PB|²=（2+2cosθ）²+（2sinθ）²+（2+2cosθ）²+（4+2sinθ）²=32+16$\sqrt{2}$$sin（θ+\frac{π}{4}）$
∈$[32-16\sqrt{2}，32+16\sqrt{2}]$．

点评 本题考查了极坐标方程与普通方程化为普通方程、两点之间的距离公式、三角函数求值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．