Question

10．如图所示，D为△ABC的外接圆$\widehat{BC}$的中点，点O在AD上，且OD=BD，AD与BC相交于E．
（I）证明；AD，OD，DE三条线段长成等比数列；
（Ⅱ）若点O到AB的距离为2，试求△ABC的内切圆的面积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据三角形相似得到DB²=DA•DE，OD²=AD•DE，从而证出线段长成等比数列；
（Ⅱ）证出O是△ABC的内切圆的圆心，求出内切圆的半径，从而求出内切圆的面积．

解答 （Ⅰ）证明：∵D为△ABC的外接圆$\widehat{BC}$的中点，
∴∠BAD=∠CAD=∠CBD=∠EBD，
又∠BDA是△DBE与△DBA的公共角，
∴△DBE∽△DAB，
∴$\frac{DB}{DA}$=$\frac{DE}{DB}$，∴DB²=DA•DE，
∵OD=DB，∴OD²=AD•DE，
∴AD，OD，DE三条线段长成等比数列；
（Ⅱ）解：∵OD=DB，∴∠DBO=∠DOB，
由（Ⅰ）得：∠EBD=∠BAD，
而∠DBO=∠EBD+∠EBO，
∠DOB=∠BAD+∠OBA，
即∠EBD+∠EBO=∠BAD+∠OBA，
于是∠EBO=∠OBA，
即OB是∠ABC的平分线，
由（Ⅰ）得：∠BAD=∠CAD，
∴AD是∠BAC的平分线，
∴O是△ABC的内切圆的圆心，
∵O到AB的距离是2，
∴内切圆的半径是2，
∴内切圆的面积S=4π．

点评 本题考查了三角形相似的应用，考查三角形内切圆问题以及等比数列，是一道中档题．