Question

15．如图，在边长为60cm的正方形的四个角除去边长相等的正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的方底箱子，箱底边长（　　）时，箱子容积最大．

• A． 10cm
• B． 20cm
• C． 30cm
• D． 40cm

Answer 1

分析 先设箱底边长为xcm，则箱高h=$\frac{60-x}{2}$cm，得箱子容积，再利用导数的方法解决，应注意函数的定义域．

解答 解：设箱底边长为xcm，则箱高h=$\frac{60-x}{2}$cm，得箱子容积V=$\frac{60{x}^{2}-{x}^{3}}{2}$（0＜x＜60）．
V′=60x-$\frac{3{x}^{2}}{2}$（0＜x＜60）
令V′=60x-$\frac{3{x}^{2}}{2}$=0，
解得  x=0（舍去），x=40，
∵x∈（0，40）时，V′（x）＞0；x∈（40，60）时，V′（x）＜0
∴V（x）在区间（0，40）上为增函数，区间（40，60）上为减函数
由此可得V（x）的最大值是V（40）=16000cm³．
故选D．

点评 本题以一个实际问题为例，求箱子的容积最大值．着重考查了函数模型及其应用和利用导数研究函数的单调性、求最值等知识，属于中档题．