Question

17．函数f（x）=|x-1|+|x+3|+e^x（x∈R）的最小值是4+$\frac{1}{{e}^{3}}$．

Answer 1

分析 去绝对值写出分段函数，利用导数讨论x≤-3时的单调性，由指数函数的单调性判断x＞-3时的单调性，否定求出函数值域得答案．

解答 解：f（x）=|x-1|+|x+3|+e^x=$\left\{\begin{array}{l}{-2x-2+{e}^{x}，（x≤-3）}\\{4+{e}^{x}，（-3＜x＜1）}\\{2x+2+{e}^{x}，（x≥1）}\end{array}\right.$．
当x≤-3时，由f（x）=-2x-2+e^x，得f′（x）=-2+e^x，
由f′（x）=-2+e^x=0，得x=ln2．
∴当x∈（-∞，-3]时，f′（x）＜0，$f（x）_{min}=f（-3）=4+\frac{1}{{e}^{3}}$；
当-3＜x＜1时，函数f（x）=4+e^x为增函数，f（x）∈（$4+\frac{1}{{e}^{3}}$，4+e）；
当x≥1时，f（x）=2x+2+e^x为增函数，f（x）_min=f（1）=4+e．
∴函数f（x）=|x-1|+|x+3|+e^x（x∈R）的最小值是4+$\frac{1}{{e}^{3}}$．
故答案为：4+$\frac{1}{{e}^{3}}$．

点评 本题考查函数的最值及其几何意义，考查利用导数研究函数的单调性，训练了分段函数值域的求法，是中档题．