Question

12．把复数z的共轭复数记作$\overline{z}$，已知$（{1+2i}）\overline{z}=4+3i$，求z及$|{\bar z}|$．

Answer 1

分析 设复数z=x+yi（x，y∈R），这里必须强调x，y∈R，则$\overline{z}=x-yi$，于是$（{1+2i}）\overline{z}=（{1+2i}）（{x-yi}）$，按照复数乘法进行运算，然后根据复数相等的充要条件列方程组，求出x，y的值，得到z及$\bar z$，进而根据$|z|=\sqrt{{x^2}+{y^2}}$可以求出$|{\bar z}|$的值．

解答 解：设z=x+yi（x∈R，y∈R），则$\overline{z}=x-yi$，$（{1+2i}）\overline{z}=（{1+2i}）（{x-yi}）=（{x+2y}）+（{2x-y}）i=4+3i$，
则$\left\{\begin{array}{l}{x+2y=4}\\{2x-y=3}\end{array}$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=1}\end{array}$，
∴z=2+i，$|z|=\sqrt{5}$，∴$|{\bar z}|=\sqrt{5}$．

点评 本题考查了复数的运算法则、复数相等、模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．