Question

2．已知函数g（x）=lnx和函数f（x）=-x²+（a+1）x-$\frac{1}{4}$a²（其中a＜0）．
（Ⅰ）求g（log₂10•lg2）的值；
（Ⅱ）用max{m，n}表示m，n中的最大值，设函数h（x）=max{f（x），g（x）}（x＞0），讨论函数h（x）零点的个数．

Answer 1

分析 （I）运用对数的换底公式和对数的运算性质，即可得到所求值；
（II）对x和a的范围进行讨论，得出f（x），g（x）在（0，+∞）上的单调性，利用单调性及最值判断f（x），g（x）的零点个数，从而得出h（x）的零点个数．

解答 解：（Ⅰ）g（log₂10•lg2）=g（$\frac{1}{lg2}$•lg2）=g（1）=ln1=0；
（Ⅱ）①当x=1时，g（1）=0，
所以1为g（x）的一个零点．
f（1）=a-$\frac{1}{4}$a²，
由于a＜0，则f（1）＜0，
所以当a＜0时，h（x）=max{f（x），g（x）}有一个零点；
②当0＜x＜1时，g（x）＜0，g（x）在（0，1）上无零点．
所以h（x）=max{f（x），g（x）}在（0，1）上的零点个数就是f（x）在（0，1）上的零点个数．
当a＜0时，△=（a+1）²-a²=2a+1，f（0）=-$\frac{1}{4}$a²＜0，f（1）＜0，
当2a+1＜0，即a＜-$\frac{1}{2}$时，h（x）无零点；
当2a+1=0，即a=-$\frac{1}{2}$时，h（x）的零点为$\frac{1}{4}$；
当2a+1＞0即-$\frac{1}{2}$＜a＜0时，h（x）有两个零点；
③当x＞1时，g（x）＞0，由于f（0）＜0，f（1）＜0，即h（x）无零点．
综上，当a＜0时，x=1，h（x）有1个零点；
当0＜x＜1时，a＜-$\frac{1}{2}$时，h（x）无零点；
a=-$\frac{1}{2}$时，h（x）的零点个数为1；
当-$\frac{1}{2}$＜a＜0时，h（x）有两个零点；
当x＞1时，h（x）无零点．

点评 本题考查函数值的求法，考查函数的零点个数问题，注意运用分类讨论思想方法，考查运算能力，属于中档题．