Question

9．已知x、y∈R⁺，且满足$\frac{1}{x}$+$\frac{2}{y}$=4，则8x+y的取值范围是$[\frac{9}{2}，+∞）$．

Answer 1

分析 x、y∈R⁺，且满足$\frac{1}{x}$+$\frac{2}{y}$=4，可得8x+y=$\frac{1}{4}（\frac{1}{x}+\frac{2}{y}）$（8x+y）=$\frac{1}{4}$（10+$\frac{16x}{y}+\frac{y}{x}$），利用基本不等式的性质即可得出．

解答 解：∵x、y∈R⁺，且满足$\frac{1}{x}$+$\frac{2}{y}$=4，
则8x+y=$\frac{1}{4}（\frac{1}{x}+\frac{2}{y}）$（8x+y）=$\frac{1}{4}$（10+$\frac{16x}{y}+\frac{y}{x}$）≥$\frac{1}{4}（10+2\sqrt{\frac{16x}{y}•\frac{y}{x}}）$=$\frac{9}{2}$，当且仅当y=4x=$\frac{3}{2}$时取等号．
∴8x+y的取值范围是$[\frac{9}{2}，+∞）$．
故答案为：$[\frac{9}{2}，+∞）$．

点评 本题考查了基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．