Question

如图1，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC=90°，BA=BC．把△BAC沿AC折起到△PAC的位置，使得P点在平面ADC上的正投影O恰好落在线段AC上，如图2所示，点E、F分别为棱PC、CD的中点．
（1）求证：平面OEF∥平面APD；
（2）求证：CD⊥平面POF；
（3）若AD=3，CD=4，AB=5，求三棱锥E-CFO的体积．

Answer 1

考点：平面与平面平行的判定,棱柱、棱锥、棱台的体积

专题：综合题,空间位置关系与距离

分析：（1）证明平面OEF∥平面APD，只需证明OE∥平面PAD，OF∥平面PAD；
（2）证明CD⊥平面POF，只需证明OF⊥CD，PO⊥CD；
（3）求出以S△CFO=

1

4

S△ACD=

3

2

，E到平面CFO的距离为

5

4

3

，利用体积公式，即可求三棱锥E-CFO的体积．

解答： （1）证明：因为点P点在平面ADC上的正投影O恰好落在线段AC上，
所以PO⊥平面ABC，所以PO⊥AC                …（1分）
因为AB=BC，
所以O是AC中点，…（2分）
所以OE∥PA，
因为PA?平面PAD
所以OE∥平面PAD…（3分）
同理OF∥平面PAD
又OE∩OF=O，OE、OF?平面OEF
所以平面OEF∥平面APD；                            …（5分）
（2）证明：因为OF∥AD，AD⊥CD
所以OF⊥CD
又PO⊥平面ADC，CD?平面ADC
所以PO⊥CD                                      …（7分）
又OF∩PO=O
所以CD⊥平面POF；                                …（8分）
（3）解：因为∠ADC=90°，AD=3，CD=4，
所以S△ACD=

1

2

×3×4=6，
而点O，E分别是AC，CD的中点，
所以S△CFO=

1

4

S△ACD=

3

2

，…（10分）
由题意可知△ACP为边长为5的等边三角形，
所以高OP=

5

2

3

，…（11分）
即P点到平面ACD的距离为

5

2

3

，
又E为PC的中点，所以E到平面CFO的距离为

5

4

3

，
故VE-CFO=

1

3

×

3

2

×

5

4

3

=

5

8

3

．…（12分）

点评：本题考查线面平行、面面平行，考查线面垂直，考查四棱锥E-CFO的体积，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．