Question

已知椭圆M：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)经过点(-1，-

2

2

)，（0，1）．
（Ⅰ）求椭圆M的方程；
（Ⅱ）设椭圆M的左、右焦点分别为F₁，F₂，过点F₂的直线交椭圆M于A，B两点，求△ABF₁面积的最大值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（Ⅰ）设出椭圆方程，代入点(-1，-

2

2

)，即可求椭圆M的方程；
（Ⅱ）设直线AB的方程为：x=my+1，代入椭圆方程，利用韦达定理，表示出面积，利用配方法，即可得出结论．

解答： 解：（Ⅰ）由题意b=1，椭圆M的方程为

x2

a2

+y2=1(a＞1)．…（1分）
将点(-1，-

2

2

)代入椭圆方程，得

1

a2

+

1

2

=1，解得a²=2．
∴椭圆M的方程为

x2

2

+y2=1．…（3分）
（Ⅱ）由题意可设直线AB的方程为：x=my+1．
由

x=my+1 x2+2y2=2

得（m²+2）y²+2my-1=0．
显然△=4m²+4（m²+2）＞0．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则

y1+y2= -2m m2+2 y1•y2= -1 m2+2 .

…（7分）
∵△ABF₁的面积S=

1

2

|F1F2|(|y1|+|y2|)，其中y₁y₂＜0．
∴S=

1

2

|F1F2||y1-y2|．
又(y1-y2)2=(y1+y2)2-4y1y2=(

-2m

m2+2

)2-4(

-1

m2+2

)=

8m2+8

(m2+2)2

，F₁（-1，0），F₂（1，0）．…（9分）
∴S2=(y1-y2)2=8[

1

m2+2

-

1

(m2+2)2

]=-8(

1

m2+2

-

1

2

)2+2≤2．
当m=0时，上式中等号成立．
即当m=0时，△ABF₁的面积取到最大值

2

．…（11分）

点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，考查配方法，属于中档题．