Question

6．设函数f（x）=|x-1|+|2x+4|．
（1）求y=f（x）的最小值；
（2）求不等式|f（x）-6|≤1的解集．

Answer 1

分析 （1）化简函数f（x）的解析式，分类讨论求得y=f（x）的最小值；
（2）由条件利用绝对值的意义，求得不等式|f（x）-6|≤1的解集．

解答 解：（1）f（x）=|x-1|+|2x+4|=$\left\{\begin{array}{l}{-3x-3，x≤-2}\\{x+5，-2＜x≤1}\\{3x+3，x＞1}\end{array}\right.$，
所以：当x≤-2时，y∈[3，+∞）；
当-2＜x≤1时，y∈（3，6]；
当x＞1时，y∈[6，+∞）．
综上，y=f（x）的最小值是3．
（2）f（x）=|x-1|+|2x+4|．
令g（x）=f（x）-6=$\left\{\begin{array}{l}{-3x-9，x≤-2}\\{x-1，-2＜x≤1}\\{3x-3，x＞1}\end{array}\right.$，
①$\left\{\begin{array}{l}{x≤-2}\\{|-3x-9|≤1}\end{array}\right.$解得：x∈[-$\frac{10}{3}$，-$\frac{8}{3}$]，
②$\left\{\begin{array}{l}{-2＜x≤1}\\{|x-1|≤1}\end{array}\right.$解得：x∈[0，1]，
③$\left\{\begin{array}{l}{x＞1}\\{|3x-3|≤1}\end{array}\right.$解得：x∈（1，$\frac{4}{3}$]．
综上，不等式|f（x）-6|≤1的解集为：[-$\frac{10}{3}$，-$\frac{8}{3}$]∪[0，1]∪（1，$\frac{4}{3}$]=[-$\frac{10}{3}$，-$\frac{8}{3}$]∪[0，$\frac{4}{3}$]．

点评 本题主要考查绝对值不等式的解法，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于基础题．