Question

已知函数y=sin²x+acosx-

1

2

a-

3

2

．
（1）当a=2时，求f（

π

3

）；
（2）求函数的最大值为1时a的值．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用

专题：函数的性质及应用,三角函数的图像与性质

分析：（1）当a=2时，y=sin²x+2cosx-

5

2

．将x=

π

3

代入可得f（

π

3

）；
（2）设cosx=t，函数解析式可化为y=-（t-

a

2

）²+

a2

4

-

a

2

-

1

2

，-1≤t≤1．分当

a

2

＜-1，即a＜-2时，当-1≤

a

2

≤1时，即-2≤a≤2时，当

a

2

＞1，即a＞2时，三种情况讨论满足条件的a值，最后综合讨论结果，可得答案．

解答： 解：（1）∵当a=2时，y=sin²x+2cosx-

5

2

．
∴f（

π

3

）=(

3

2

)2+2×

1

2

-

5

2

=-

3

4

，
（2）∵y=1-cos²x+acosx-

1

2

a-

3

2

=-cos²x+acosx-

a

2

-

1

2

=-（cosx-

a

2

）²+

a2

4

-

a

2

-

1

2

．
设cosx=t，
∵-1≤cosx≤1，
∴-1≤t≤1．
∴y=-（t-

a

2

）²+

a2

4

-

a

2

-

1

2

，-1≤t≤1．
1）当

a

2

＜-1，即a＜-2时，
此时当t=-1，y有最大值-

3

2

a-

3

2

．
由已知条件可得-

3

2

a-

3

2

=1，
∴a=-

5

3

＞-2（舍去）．
2）当-1≤

a

2

≤1时，即-2≤a≤2时，
此时当t=

a

2

，y有最大值

a2

4

-

a

2

-

1

2

．
由已知条件可得

a2

4

-

a

2

-

1

2

=1，
解得a=1-

7

或a=1+

7

（舍去）．
3）当

a

2

＞1，即a＞2时，
此时当t=1，y有最大值

a

2

-

3

2

．
由已知条件可得

a

2

-

3

2

=1，
∴a=5．
综上可得a=1-

7

或a=5．

点评：本题考查的知识点是三角函数求值，二次函数在定区间上的最值问题，是三角函数与二次函数的综合应用，难度中档．