Question

函数f（x）=Asin（ωx-φ）+1（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）在x=

π

3

处取得最大值为3，其图象相邻两条对称轴之间的距离为

π

2

．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）设α∈（0，

π

2

），则f（

α

2

）=2，求α的值．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）根据函数f（x）=Asin（ωx-φ）+1（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）在x=

π

3

处取得最大值为3，其图象相邻两条对称轴之间的距离为

π

2

．进一步求出A、ω、φ的值，从而确定函数的解析式．
（2）根据（1）所得的解析式和函数的定义域，确定a的值．

解答： 解：（1）∵函数f（x）的最大值为3，
∴A+1=3，即A=2----（2分）
∵函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为

π

2

，
∴最小正周期为T=π
∴ω=2
又∵f（x）过点（

π

3

，3）
∴2sin（

2π

3

-φ）+1=3
即

2π

3

-φ=

π

2

+2kπ  （k∈Z）
解得φ=

π

6

+2kπ （k∈Z）
又∵|φ|＜π
∴φ=

π

6

函数f（x）的解析式为：y=2sin（2x-

π

6

）+1
（2）∵f（

a

2

）=2sin（2x-

π

6

）+1=2
即sin（a-

π

6

）=

1

2

∵0＜a＜

π

2

∴-

π

6

＜a-

π

6

＜

π

3

∴α-

π

6

=

π

6

即a=

π

3

．

点评：本题考查的知识点：根据图象确定函数的解析式，以及函数在某一定义域内的函数值确定参数的取值，是高考的常见题型．