Question

已知向量

m

=（2

3

sin

x

4

，2），

n

=（cos

x

4

，cos²

x

4

）．函数f（x）=

m

•

n

．
（Ⅰ）若f（x）=

1

2

，求cos（x+

π

3

）的值；
（Ⅱ）在△ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，且满足（2a-c）cosB=bcosC，求f（A）的取值范围．

Answer 1

考点：正弦定理的应用,平面向量的综合题

专题：解三角形,平面向量及应用

分析：（I）利用数量积运算、倍角公式、两角和差的正弦公式可得函数f（x）=

m

•

n

=2sin(

x

2

+

π

6

)+1．
由于f（x）=

1

2

，可得sin(

x

2

+

π

6

)=-

1

4

．再利用倍角公式可得cos（x+

π

3

）=1-2sin2(

x

2

+

π

6

)．．
（II）由（2a-c）cosB=bcosC，利用正弦定理可得：2sinAcosB-sinCcosB=sinBcosC，化为2sinAcosB=sin（B+C）=
sinA，再利用正弦函数的单调性即可得出．

解答： 解：（I）函数f（x）=

m

•

n

=2

3

sin

x

4

cos

x

4

+2cos2

x

4

=

3

sin

x

2

+cos

x

2

+1=2sin(

x

2

+

π

6

)+1．
∵f（x）=

1

2

，
∴2sin(

x

2

+

π

6

)+1=

1

2

，化为sin(

x

2

+

π

6

)=-

1

4

．
∴cos（x+

π

3

）=1-2sin2(

x

2

+

π

6

)=1-2×(-

1

4

)2=

7

8

．
（II）∵（2a-c）cosB=bcosC，
利用正弦定理可得：2sinAcosB-sinCcosB=sinBcosC，
化为2sinAcosB=sin（B+C）=sinA，
∵sinA≠0，∴cosB=

1

2

，∵B∈（0，π），
∴B=

π

3

．∴0＜A＜

2π

3

，

π

6

＜

A

2

+

π

6

＜

π

2

，
∴

1

2

＜sin(

A

2

+

π

6

)＜1，
∴2＜f（A）＜3．

点评：本题主要考查了数量积运算、正弦定理、两角和差的正弦函数、正弦函数的单调性、诱导公式等基础知识与基本技能方法，考查了计算能力与推理能力，属于中档题．