Question

2．在直角坐标平面内，把横坐标与纵坐标都为整数的点称为整点．已知区域D：$\left\{\begin{array}{l}{y≤2x}\\{x+y≤n}\\{y≥0}\end{array}\right.$，其中n∈N^*．记区域D内的整点个数为a_n．
（1）求a₁，a₂，a₃的值；
（2）求a_n的表达式（n≥4，n∈N^*）

Answer 1

分析 （1）区域D：$\left\{\begin{array}{l}{y≤2x}\\{x+y≤n}\\{y≥0}\end{array}\right.$，其中n∈N^*．记区域D内的整点个数为a_n．
n=1时，区域D包括（0，0），（0，1）两个点，可得a₁=2，
同理可得：a₂=4，a₃=7．
（2）a_n=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{n}^{2}+3n+2}{3}，n=3m+1或n=3m+2}\\{\frac{{n}^{2}+3n+3}{3}，n=3m+3}\end{array}\right.$，m∈N^*．

解答 解：（1）区域D：$\left\{\begin{array}{l}{y≤2x}\\{x+y≤n}\\{y≥0}\end{array}\right.$，其中n∈N^*．记区域D内的整点个数为a_n．
n=1时，区域D包括（0，0），（0，1）两个点，可得a₁=2，
同理可得：a₂=4，a₃=7．
（2）a_n=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{n}^{2}+3n+2}{3}，n=3m+1或n=3m+2}\\{\frac{{n}^{2}+3n+3}{3}，n=3m+3}\end{array}\right.$，m∈N^*．

点评 本题考查了等差数列的通项公式与求和公式、递推关系、作差法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．