Question

11．已知四面体ABCD中，AB=AC，BD=CD，平面ABC⊥平面BCD，E，F分别为棱BC和AD的中点．
（Ⅰ）求证：AE⊥平面BCD；
（Ⅱ）求证：AD⊥BC；
（Ⅲ）点G在棱AB上，且满足FG∥平面BCD，求点G在棱AB上的位置．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意可证AE⊥BC，由面面垂直的性质即可证明AE⊥平面BCD．
（Ⅱ）先证明BC⊥DE，由（1）知AE⊥BC，由判定定理可得BC⊥平面AED，由线面垂直的性质即可证明BD⊥AD．
（Ⅲ）由线面平行的性质定理可得FG∥BD，又F为棱AD的中点，可得G为棱AB的中点．

解答 证明：（Ⅰ）∵在△ABC中，AB=AC，E为BC的中点，
∴AE⊥BC．
又∵平面ABC⊥平面BCD，AE?平面ABC，平面ABC∩平面BCD=BC，
∴AE⊥平面BCD．
（Ⅱ）∵BD=CD，E为BC的中点，
∴BC⊥DE．
由（1）知AE⊥BC，又AE∩DE=E，AE，DE?平面AED，
∴BC⊥平面AED，又AD?平面AED，
∴BD⊥AD．
（Ⅲ）∵点G在棱AB上，连接FG，由于FG∥平面BCD，
∴FG∥BD，
∵F为棱AD的中点，
∴G为棱AB的中点．

点评 本题主要考查了直线与平面平行的判定，直线与平面垂直的判定，线面平行的性质，考查了空间想象能力，推理论证能力和转化思想，属于中档题．