Question

12．已知函数f（x）=2ax³-x²+$\frac{1}{27}$，若f（x）存在唯一的零点x₀，且x₀＞0，则a的取值范围是（　　）

• A． （-1，1）
• B． （1，+∞）
• C． （1，+∞）∪（-∞，-1）
• D． （-∞，-1）

Answer 1

分析 分类讨论：当a≥0时，容易判断出不符合题意；当a＜0时，求出函数的导数，利用导数和极值之间的关系转化为求极小值f（$\frac{1}{3a}$）＞0，求得a的取值范围．

解答 解：∵f（x）=2ax³-x²+$\frac{1}{27}$，
∴f′（x）=6ax²-2x=2x（3ax-1），f（0）=$\frac{1}{27}$；
①当a=0时，f（x）=-x²+$\frac{1}{27}$，有两个零点，不成立；
②当a＞0时，f（x）=2ax³-x²+$\frac{1}{27}$，令f′（x）=2x（3ax-1），解得：x=0，x=$\frac{1}{3a}$，

x	（-∞，0）	0	（0，$\frac{1}{3a}$）	$\frac{1}{3a}$	（$\frac{1}{3a}$，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	单调递增	极大值	单调递减	极小值	单调递增

∵x→-∞，f（x）→-∞，而f（0）=$\frac{1}{27}$＞0，
∴存在x＜0，使得f（x）=0，
不符合条件：f（x）存在唯一的零点x₀，且x₀＞0，应舍去．
③当a＜0时，f（x）=2ax³-x²+$\frac{1}{27}$，令f′（x）=2x（3ax-1），解得：x=0，x=$\frac{1}{3a}$＜0，

x	（-∞，$\frac{1}{3a}$）	$\frac{1}{3a}$	（$\frac{1}{3a}$，0）	0	（0，+∞）
f′（x）	-	0	+	0	-
f（x）	单调递减	极小值	单调递增	极大值	单调递减

而f（0）=1＞0，x→+∞时，f（x）→-∞，
∴存在x₀＞0，使得f（x₀）=0，
∵f（x）存在唯一的零点x₀，且x₀＞0，
∴极小值f（$\frac{1}{3a}$）=2a（$\frac{1}{3a}$）³-（$\frac{1}{3a}$）²+$\frac{1}{27}$＞0，
化为a²＞1，解得：a＞1或a＜-1，
∵a＜0，
∴a＜-1．
综上可知：a的取值范围是（-∞，-1）．
故选：D．

点评 本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、分类讨论的思想方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．