Question

7．已知A（0，2，3），B（-2，1，6），C（1，-1，5）
（1）求平面ABC的一个法向量；
（2）证明：向量$\overrightarrow a=（3，-4，1）$与平面ABC平行．

Answer 1

分析 （1）设$\overrightarrow{n}$=（x，y，z）为平面ABC的一个法向量，
则有$\overrightarrow{n}$•$\overrightarrow{AB}$=0且$\overrightarrow{n}$•$\overrightarrow{AC}$=0，由此求出平面ABC的一个法向量；
（2）假设存在实数m、n，使$\overrightarrow{a}$=m$\overrightarrow{AB}$+n$\overrightarrow{AC}$，
利用向量相等列出方程组求出m、n的值，即可证明结论成立．

解答 解：（1）∵A（0，2，3），B（-2，1，6），C（1，-1，5），
∴$\overrightarrow{AB}$=（-2，-1，3），$\overrightarrow{AC}$=（1，-3，2），
设$\overrightarrow{n}$=（x，y，z）为平面ABC的一个法向量，
则有$\overrightarrow{n}$•$\overrightarrow{AB}$=（x，y，z）•（-2，-1，3）=-2x-y-3z=0，
$\overrightarrow{n}$•$\overrightarrow{AC}$=（x，y，z）•（1，-3，2）=x-3y+2z=0；
由$\left\{\begin{array}{l}{-2x-y+3z=0}\\{x-3y+2z=0}\end{array}\right.$，
解得x=y=z，
当$\sqrt{{x}^{2}{+y}^{2}{+z}^{2}}$=1时，x=y=z=±$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
故平面ABC的一个单位法向量为（$\frac{\sqrt{3}}{3}$，$\frac{\sqrt{3}}{3}$，$\frac{\sqrt{3}}{3}$）或（-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，-$\frac{\sqrt{3}}{3}$）；
（2）证明：若存在实数m、n，使$\overrightarrow{a}$=m$\overrightarrow{AB}$+n$\overrightarrow{AC}$，
即（3，-4，1）=m（-2，-1，3）+n（1，-3，2），
则$\left\{\begin{array}{l}{-2m+n=3}\\{-m-3n=-4}\\{3m+2n=1}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{m=-\frac{5}{7}}\\{n=\frac{11}{7}}\end{array}\right.$，
所以$\overrightarrow{a}$=-$\frac{5}{7}$$\overrightarrow{AB}$+$\frac{11}{7}$$\overrightarrow{AC}$，
即向量$\overrightarrow{a}$∥平面ABC．

点评 本题考查了空间向量的坐标运算问题，也考查了求平面法向量的应用问题，是基础题目．