Question

已知函数f（x）=2x³+

3

2

x²-3x+2
（Ⅰ）求f（x）的单调区间．
（Ⅱ）求f（x）[-2，1]上的最大值和最小值．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究函数的单调性

专题：综合题,导数的概念及应用

分析：（Ⅰ）求导数f'（x），解f'（x）＞0可得增区间，解f'（x）＜0可得减区间；
（Ⅱ）由（Ⅰ）求得f（x）的极值，再求f（-2），f（1），进行大小比较，其中最大者为最大值，最小者为最小值；

解答： 解：（Ⅰ）f（x）=2x³+

3

2

x²-3x+2，
f'（x）=6x²+3x-3，解f'（x）=0，得x=-1或x=

1

2

，
当x＜-1或x＞

1

2

时，f′（x）＞0，f（x）递增；当-1＜x＜

1

2

时，f'（x）＜0，f（x）递减；
∴f（x）的单调增区间为（-∞，-1）和（

1

2

，+∞），单调减区间为（-1，

1

2

）；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）在[-2，-1]上递增，在[-1，

1

2

]上递减，在[

1

2

，1]上递增，
又f（-2）=-2，f（-1）=

9

2

，f（

1

2

）=

9

8

，f（1）=

5

2

，
∴f（x）的最大值为

9

2

，最小值为-2．

点评：本题考查利用导数研究函数的单调性、求函数在闭区间上的最值，考查学生分析解决问题的能力，属中档题．正确理解导数与函数单调性间的关系是解题基础．