Question

已知函数f（x）（x∈R）满足：对于任意实数x，y，都有f（x+y）=f（x）+f（y）+

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 恒成立，且当x＞0时，f（x）＞-

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恒成立；
（1）求f（0）的值．
（2）判定函数f（x）在R上的单调性，并加以证明．

Answer 1

考点：抽象函数及其应用

专题：函数的性质及应用

分析：（1）令x=y=0，则可得f（0）=-

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；
（2）设x₁＞x₂，由已知可得f（x₁-x₂）＞-

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，再利用f（x+y）=f（x）+f（y）+

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 及增函数的定义即可证明．

解答： 解：（1）证明：令x=y=0，代入f（x+y）=f（x）+f（y）+

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得f（0）=f（0）+f（0）+

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，
∴f（0）=-

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（（2）函数y=f（x）为增函数，理由如下
设x₁＞x₂，则x₁-x₂＞0，
∵x＞0时，f（x）＞-

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，
∴f（x₁-x₂）＞-

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，
∴f（x₁）=f（x₁-x₂+x₂）=f（x₁-x₂）+f（x₂）+

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＞f（x₂）
∴函数y=f（x）是R上的增函数；

点评：本题考查了抽象函数的奇偶性和单调性，深刻理解函数奇偶性和单调性的定义及充分利用已知条件是解决问题的关键．