Question

10．设$\overrightarrow a=（\sqrt{3}，1），\overrightarrow b=（x，-3）$，且$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow{b}$，则向量$\overrightarrow a-\overrightarrow b$的$\overrightarrow b$夹角为（　　）

• A． 30°
• B． 60°
• C． 120°
• D． 150°

Answer 1

分析 $\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow{b}$，可得$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=0，解得x．再利用向量夹角公式即可得出．

解答 解：∵$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow{b}$，∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=$\sqrt{3}$x-3=0，解得x=$\sqrt{3}$．
∴$\overrightarrow a-\overrightarrow b$=（0，4），
∴（$\overrightarrow a-\overrightarrow b$）•$\overrightarrow b$=-12，
|$\overrightarrow a-\overrightarrow b$|=4，$|\overrightarrow{b}|$=$\sqrt{（\sqrt{3}）^{2}+（-3）^{2}}$=2$\sqrt{3}$，
设向量$\overrightarrow a-\overrightarrow b$的$\overrightarrow b$夹角为θ，
∴cosθ=$\frac{（\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}）•\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}||\overrightarrow{b}|}$=$\frac{-12}{2\sqrt{3}×4}$=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∵$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角为θ的取值范围是[0，π]，
∴θ=150°．
故选：D．

点评 本题考查了向量垂直与数量积的关系、向量夹角公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．