Question

已知x＞0，y＞0，且2y+x-xy=0，若x+2y-m＞0恒成立，则实数m的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：基本不等式

专题：不等式的解法及应用

分析：变形利用基本不等式的性质可得x+2y=

2y

y-1

+2y=2（y-1）+

2

y-1

+4≥8，而x+2y-m＞0恒成立，可得m＜（x+2y）_min．即可得出．

解答： 解：∵x＞0，y＞0，且2y+x-xy=0，
∴x=

2y

y-1

＞0，解得y＞1．
∴x+2y=

2y

y-1

+2y=2（y-1）+

2

y-1

+4≥4

(y-1)• 1 y-1

+4=8，当且仅当y=2，x=4时取等号．
∴（x+2y）_min=8．
∵x+2y-m＞0恒成立，
∴m＜（x+2y）_min=8．
故答案为：m＜8．

点评：本题考查了变形利用基本不等式的性质、恒成立问题的等价转化方法，属于基础题．