Question

已知函数f(x)=

1

x

-x
（1）判f（x）的奇偶性并予以证明．
（2）求使f(x)＞

1

x

+x-x2+3的x的取值集合．

Answer 1

考点：函数单调性的判断与证明,其他不等式的解法

专题：函数的性质及应用

分析：（1）利用定义证明：先求出函数的定义域，再找f（-x）与f（x）的关系，根据奇偶函数的定义可作出结论；
（2）化简不等式f(x)＞

1

x

+x-x2+3，可得二次不等式，解出即可，注意函数f（x）的定义域．

解答： 解：（1）f（x）在其定义域内为奇函数，证明如下：
由x≠0，得函数f（x）的定义域为（-∞，0）∪（0，+∞），
又f（-x）=

1

-x

-（-x）=-（

1

x

-x）=-f（x），
∴f（x）为奇函数；
（2）f(x)＞

1

x

+x-x2+3可化为

1

x

-x＞

1

x

+x-x²+3即x²-2x-3＞0，
解得x＜-1或x＞3，
∴f(x)＞

1

x

+x-x2+3的x的取值集合为：{x|x＜-1或x＞3}．

点评：本题考查函数奇偶性的判断与证明、不等式的求解，属基础题，函数奇偶性问题往往考虑定义解决，要熟练掌握．