Question

5．已知点P（-1+$\sqrt{2}$cosα，$\sqrt{2}$sinα）（其中α∈[0，2π）），点P的轨迹记为曲线C₁，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，点Q在曲线C₂：ρ=$\frac{1}{{\sqrt{2}cos（θ+\frac{π}{4}）}}$上．
（1）求曲线C₁的极坐标方程和曲线C₂的直角坐标方程；
（2）当ρ≥0，0≤θ＜2π时，求曲线C₁与曲线C₂的公共点的极坐标．

Answer 1

分析 （1）点P（-1+$\sqrt{2}$cosα，$\sqrt{2}$sinα）（其中α∈[0，2π）），点P的轨迹曲线C₁的参数方程为：$\left\{\begin{array}{l}{x=-1+\sqrt{2}cosα}\\{y=\sqrt{2}sinα}\end{array}\right.$，利用cos²α+sin²α=1即可化为直角坐标方程．再利用互化公式即可化为极坐标方程．点Q的曲线C₂：ρ=$\frac{1}{{\sqrt{2}cos（θ+\frac{π}{4}）}}$，化为$\sqrt{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}$（ρcosθ-ρsinθ）=1，利用$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$即可化为直角坐标方程．
（2）直线方程与圆的方程联立解得直角坐标，再化为极坐标即可得出．

解答 解：（1）点P（-1+$\sqrt{2}$cosα，$\sqrt{2}$sinα）（其中α∈[0，2π）），点P的轨迹曲线C₁的参数方程为：$\left\{\begin{array}{l}{x=-1+\sqrt{2}cosα}\\{y=\sqrt{2}sinα}\end{array}\right.$，化为直角坐标方程：（x+1）²+y²=2．
展开为x²+y²+2x-1=0，化为极坐标方程：ρ²+2ρcosθ-1=0．
点Q的曲线C₂：ρ=$\frac{1}{{\sqrt{2}cos（θ+\frac{π}{4}）}}$，化为$\sqrt{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}$（ρcosθ-ρsinθ）=1，化为直角坐标方程：x-y-1=0．
（2）联立$\left\{\begin{array}{l}{x-y-1=0}\\{{x}^{2}+{y}^{2}+2x-1=0}\end{array}\right.$，化为：x=0，
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=-1}\end{array}\right.$，可得交点（0，-1），化为极坐标（1，$\frac{3π}{2}$）．

点评 本题考查了极坐标与直角坐标方程的互化、参数方程化为普通方程、和差公式、曲线交点，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．