Question

16．已知函数f（x）=x³-6ax²，其中a≥0．
（1）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）讨论函数f（x）的单调性．

Answer 1

分析 （1）求导数，确定切线的斜率、切点的坐标，即可求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）先求导，通过讨论a的取值，讨论函数的单调性．

解答 解：（1）当a=1时，f（x）=x³-6x²，f′（x）=3x（x-4），
∴f′（1）=-9，f（1）=-5，
∴曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程y-5=-9（x-1），
即9x+y-14=0；
（2）f'（x）=3x²-12ax．
令f'（x）=0，得x₁=0，x₂=4a．
①当a=0时，f'（x）=3x²≥0，故f（x）在R上为增函数．
②当4a＞0，即a＞0时，列表分析如下：

x	（-∞，0）	0	（0，4a）	4a	（4a，+∞）
f'（x）	+	0	-	0	+

所以函数f（x）在（-∞，0）和（4a，+∞）内单调递增，在（0，4a）内单调递减．
综上，当a=0时，f（x）在R上单调递增；当a＞0时，f（x）在（-∞，0）和（4a，+∞）内单调递增，在（0，4a）内单调递减．

点评 本题考查导数知识的综合运用，考查导数的几何意义．对应含有参数的函数的单调性要对参数进行讨论．