Question

17．已知函数f（x）=sin²ωx+$\sqrt{3}$sinωx•cosωx-1（ω＞0）的周期为π．
（1）当x∈[0，$\frac{π}{2}$]时，求f（x）的取值范围；
（2）求函数f（x）的单调递增区间．

Answer 1

分析 （1）利用降幂公式降幂，再由辅助角公式化简，由x的范围求得相位的范围，则函数的取值范围可求；
（2）利用复合函数的单调性求得原函数的单调区间．

解答 解：（1）f（x）=sin²ωx+$\sqrt{3}$sinωx•cosωx-1=$\frac{1-cos2ωx}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}sin2ωx-1$
=$sin（2ωx-\frac{π}{6}）-\frac{1}{2}$．
∵ω＞0，∴T=$\frac{2π}{2ω}=\frac{π}{ω}=π$，则ω=1．
∴函数f（x）=sin（2x-$\frac{π}{6}$）-$\frac{1}{2}$．
由0$≤x≤\frac{π}{2}$，得$-\frac{π}{6}≤2x-\frac{π}{6}≤\frac{5π}{6}$，
∴$-\frac{1}{2}≤sin（2x-\frac{π}{6}）≤1$，
∴$-1≤sin（2x-\frac{π}{6}）-\frac{1}{2}≤\frac{1}{2}$．
∴f（x）的取值范围[-1，$\frac{1}{2}$]；
（2）令$-\frac{π}{2}+2kπ≤2x-\frac{π}{6}≤\frac{π}{2}+2kπ$，
得：$-\frac{π}{6}+kπ≤x≤\frac{π}{3}$，（k∈Z），
∴f（x）的单调递增区间为[kπ-$\frac{π}{6}$，kπ+$\frac{π}{3}$]，（k∈Z）．

点评 本题考查三角函数中的恒等变换应用，考查y=Asin（ωx+φ）型函数的图象和性质，是中档题．