Question

7．已知函数f（x）=log_a$\frac{1-x}{x+1}$（a＞0，a≠1）．
（I）求函数的定义域；
（Ⅱ）判断函数的奇偶性，并说明理由；
（Ⅲ）解不等式f（x）＞0．

Answer 1

分析 （Ⅰ）解不等式$\frac{1-x}{x+1}＞0$即可得出该函数的定义域；
（Ⅱ）可先判断定义域关于原点对称，然后求f（-x），便可得到f（-x）=-f（x），从而得出f（x）为奇函数；
（Ⅲ）讨论a：0＜a＜1，和a＞1，根据对数函数的单调性，在每种情况下会得到一个关于x的不等式，解不等式即可得出x的范围，即得出原不等式的解集．

解答 解：（Ⅰ）解$\frac{1-x}{x+1}＞0$，得-1＜x＜1；
∴函数的定义域为（-1，1）；
（Ⅱ）∵函数的定义域关于原点对称；
且$f（-x）=lo{g}_{a}\frac{1+x}{1-x}=lo{g}_{a}（\frac{1-x}{1+x}）^{-1}=-lo{g}_{a}\frac{1-x}{1+x}=-f（x）$；
∴f（x）为奇函数；
（Ⅲ）∵f（x）＞0，①当0＜a＜1时，$0＜\frac{1-x}{1+x}＜1$；
解得0＜x＜1；
②当a＞1时，$\frac{1-x}{1+x}＞1$；
∴-1＜x＜0．

点评 考查函数定义域的概念及求法，对数的真数大于0，以及函数奇偶性的定义，分式不等式的解法，对数函数的单调性．