Question

10．在极坐标系中，直线l的极坐标方程为θ=$\frac{π}{3}$（ρ∈R），以极坐标为原点，极轴为x轴非负半轴建立直角坐标系，圆C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=cosθ+2}\\{y=sinθ}\end{array}\right.$．
（I）写出直线l的直角坐标方程；
（Ⅱ）设点P在直线l上，过点P作圆C的切线，切点为M，N，当∠MPN最大时，求点P的直角坐标系．

Answer 1

分析 （I）由直线l的极坐标方程为θ=$\frac{π}{3}$（ρ∈R），利用$\frac{y}{x}$=tanθ即可得出直角坐标方程．
（II）圆C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=cosθ+2}\\{y=sinθ}\end{array}\right.$，利用cos²θ+sin²θ=1即可化为普通方程．由圆心C作CP⊥l，垂足为P点，CP取得最小值，则此时∠MPN取得最大值．垂线CP的方程为：y=$-\frac{\sqrt{3}}{3}$（x-2），与直线l的方程联立即可解出坐标．

解答 解：（I）由直线l的极坐标方程为θ=$\frac{π}{3}$（ρ∈R），可得直角坐标方程：y=$\sqrt{3}$x．
（II）圆C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=cosθ+2}\\{y=sinθ}\end{array}\right.$，
化为普通方程：（x-2）²+y²=1，可得圆心C（2，0），半径r=1．
由圆心C作CP⊥l，垂足为P点，则CP取得最小值，
此时∠MPN取得最大值．
垂线CP的方程为：y=$-\frac{\sqrt{3}}{3}$（x-2），
联立$\left\{\begin{array}{l}{x+\sqrt{3}y-2=0}\\{y=\sqrt{3}x}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{2}}\\{y=\frac{\sqrt{3}}{2}}\end{array}\right.$，
∴P$（\frac{1}{2}，\frac{\sqrt{3}}{2}）$．

点评 本题考查了极坐标与直角坐标方程的互化、参数方程化为普通方程、三角函数基本关系式、直线与圆相切的性质、相互垂直的直线斜率之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．