Question

11．已知三棱锥P-ABC的各顶点都在同一球的面上，且PA⊥平面ABC，若球O的体积为$\frac{20\sqrt{5}π}{3}$（球的体积公式：V=$\frac{4π}{3}$R³，其中R为球的半径），AB=2，AC=1，∠BAC=60°，则PA为（　　）

• A． 4
• B． $\sqrt{5}$
• C． 2
• D． $\sqrt{3}$

Answer 1

分析 利用球的体积，求出球的半径，利用余弦定理求出BC，可得△ABC外接圆的半径，利用勾股定理可得结论．

解答 解：球O的体积为$\frac{20\sqrt{5}π}{3}$，$\frac{4π}{3}$R³=$\frac{20\sqrt{5}π}{3}$，∴R=$\sqrt{5}$．
∵AB=2，AC=1，∠BAC=60°，
∴BC=$\sqrt{4+1-2×2×1×\frac{1}{2}}$=$\sqrt{3}$，
∴△ABC外接圆的半径为$\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=1，
∴$\sqrt{1+\frac{1}{4}P{A}^{2}}$=$\sqrt{5}$，∴PA=4，
故选A．

点评 本题考查球的体积，余弦定理，考查学生的计算能力，属于中档题．