五一期间.某商场决定从2种服装.3种家电.4种日用品中.选出3种商品进行促销活动．(1)试求选出3种商品中至少有一种是家电的概率,(2)商场对选出的某商品采用抽奖方式进行促销.即在该商品现价的基础上将价格提高60元.规定购买该商品的顾客有3次抽奖的机会:若中一次奖.则获得数额为n元的奖金,若中两次奖.则获得数额为3n元的奖金,若中三次奖.则共获得� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

3．五一期间，某商场决定从2种服装、3种家电、4种日用品中，选出3种商品进行促销活动．
（1）试求选出3种商品中至少有一种是家电的概率；
（2）商场对选出的某商品采用抽奖方式进行促销，即在该商品现价的基础上将价格提高60元，规定购买该商品的顾客有3次抽奖的机会：若中一次奖，则获得数额为n元的奖金；若中两次奖，则获得数额为3n元的奖金；若中三次奖，则共获得数额为 6n元的奖金．假设顾客每次抽奖中奖的概率都是$\frac{1}{4}$，请问：商场将奖金数额n最高定为多少元，才能使促销方案对商场有利？

分析（1）设选出的3种商品中至少有一种是家电为事件A，
利用对立事件的概率求出A的概率值；
（2）设顾客三次抽奖所获得的奖金总额为随机变量ξ，
写出ξ的所有可能取值，求出对应的概率值，计算数学期望，
利用数学期望值列不等式，求出奖金数额n的最高值．

解答解：（1）设选出的3种商品中至少有一种是家电为事件A，
从2种服装、3种家电、4种日用品中，选出3种商品，一共有$C_9^3$种不同的选法，
选出的3种商品中，没有家电的选法有${C}_{6}^{3}$种，
所以选出的3种商品中至少有一种是家电的概率为
$P（A）=1-\frac{C_6^3}{C_9^3}=1-\frac{5}{21}=\frac{16}{21}$；
（2）设顾客三次抽奖所获得的奖金总额为随机变量ξ，
其所有可能的取值为0，n，3n，6n；（单元：元）
ξ=0表示顾客在三次抽奖都没有获奖，
所以$P（ξ=0）=C_3^0{（\frac{1}{4}）^0}{（1-\frac{1}{4}）^3}=\frac{27}{64}$，
同理$P（ξ=n）=C_3^1{（\frac{1}{4}）^1}{（1-\frac{1}{4}）^2}=\frac{27}{64}$；
$P（ξ=3n）=C_3^2{（\frac{1}{4}）^2}（1-\frac{1}{4}）=\frac{9}{64}$；
$P（ξ=6n）=C_3^3{（\frac{1}{4}）^3}{（1-\frac{1}{4}）^0}=\frac{1}{64}$；
顾客在三次抽奖中所获得的奖金总额的期望值是
$Eξ=0×\frac{27}{64}+n×\frac{27}{64}+3n×\frac{9}{64}+6n×\frac{1}{64}=\frac{15n}{16}$，
由$\frac{15n}{16}≤60$，解得n≤64，
所以n最高定为64元，才能使促销方案对商场有利．

点评本题考查了古典概型的概率以及离散型随机变量的分布列和数学期望的计算问题，是中档题．