Question

1．已知函数f（x）=（x+1）²1n（x+1）-x．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）设当x≥0时，f（x）≥ax²，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；
（2）设h（x）=f（x）-ax²=（x+1）²ln（x+1）-x-ax²（x≥0），通过讨论a的范围，求出函数的单调区间，得到函数的最值，求出a的具体范围即可．

解答 解：（1）f'（x）=2（x+1）ln（x+1）+x，
当x∈（0，+∞）时，x+1＞1，ln（x+1）＞0，所以f'（x）＞0，
当x∈（-1，0]时，0＜x+1≤1，ln（x+1）≤0，所以f'（x）≤0
所以f（x）在区间（-1，0]上单调递减，在区间（0，+∞）上单调递增
（2）设h（x）=f（x）-ax²=（x+1）²ln（x+1）-x-ax²（x≥0）
则h'（x）=2（x+1）ln（x+1）+x-2ax
设φ（x）=2（x+1）ln（x+1）+x-2ax（x≥0），
则φ'（x）=2ln（x+1）+3-2a
①当3-2a≥0时，即$a≤\frac{3}{2}$时，对一切x≥0，φ'（x）≥0
所以φ（x）在区间[0，+∞）上单调递增，所以φ（x）≥φ（0）=0，即h'（x）≥0，
所以h（x）在区间[0，+∞）上单调递增，所以h（x）≥h（0）=0，符合题意
②当3-2a＜0时，即$a＞\frac{3}{2}$时，存在x₀＞0，使得φ'（x₀）=0，
当x∈（0，x₀）时，φ'（x）＜0
所以φ（x）在区间（0，x₀）上单调递减，所以当x∈（0，x₀）时，φ（x）＜φ（0）=0，
即h'（x）＜0，所以h（x）在区间（0，x₀）上单调递减
故当x∈（0，x₀）时，有h（x）＜h（0）=0，与题意矛盾，舍去
综上可知，实数a的取值范围为$（{-∞，\frac{3}{2}}]$．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．