Question

20．已知二阶矩阵M有特征值λ=8及对应的一个特征向量$\overrightarrow{{e}_{1}}$=$[\begin{array}{l}{1}\\{1}\end{array}]$，并且矩阵M将点（-1，3）变换为（4，16），求矩阵M．

Answer 1

分析 设出矩阵，利用特征向量的定义，即二阶变换矩阵的概念，建立方程组，即可得到结论．

解答 解：设$M=[\begin{array}{l}{a}&{b}\\{c}&{d}\end{array}]$，
∵特征值λ=8及对应的一个特征向量$\overrightarrow{{e}_{1}}$=$[\begin{array}{l}{1}\\{1}\end{array}]$，矩阵M将点（-1，3）变换为（4，16），
∴$\left\{\begin{array}{l}{a+b=8}\\{c+d=8}\\{-a+3b=4}\\{-c+3d=16}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=5}\\{b=3}\\{c=2}\\{d=6}\end{array}\right.$，∴M=$[\begin{array}{l}{5}&{3}\\{2}&{6}\end{array}]$…（10分）

点评 本题考查特征值，考查二阶变换矩阵，考查学生的计算能力，属于中档题．