Question

已知奇函数f（x）是R上的减函数，且f（3）=-2，设P={x||f（x+t）-1|＜1}，Q={x|f（x）＜-2}，若“x∈Q”是“x∈P”的必要不充分条件，则实数t的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：奇偶性与单调性的综合

专题：函数的性质及应用

分析：根据函数的单调性求出P，Q的等价条件，利用充分条件和必要条件的定义即可得到结论．

解答： 解：∵奇函数f（x）是R上的减函数，且f（3）=-2，
∴不等式f（x）＜-2等价为f（x）＜f（3），解得x＜3，即Q={x|x＜3}，
由|f（x+t）-1|＜1得-1＜f（x+t）-1＜1，
解得0＜f（x+t）＜2，
则不等式等价为f（0）＜f（x+t）＜-f（3）=f（-3），
解得-3＜x+t＜0，
即-t-3＜x＜-t，
即P={x|-t-3＜x＜-t}，
若“x∈Q”是“x∈P”的必要不充分条件，
则P?Q，
即-t≤3，
解得t≥-3．
故答案为：[-3，+∞）

点评：本题主要考查充分条件和必要条件的应用，根据函数的单调性和奇偶性的关系进行转化是解决本题的关键．