Question

如图，四边形ABCD是正方形，延长CD至E，使得DE=CD．若动点P从点A出发，沿正方形的边按逆时针方向运动一周回到A点，其中

AP

=λ

AB

+μ

AE

，下列判断正确的是

 

①．满足λ+μ=2的点P必为BC的中点  ②．满足λ+μ=1的点P有且只有两个  ③．λ+μ的最大值为3   ④．λ+μ的最小值不存在．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：平面向量及应用

分析：不妨设正方形的边长为1，建立如图所示的坐标系，对于①②③④四个选项逐一分析、判断即可．

解答： 解：由题意，不妨设正方形的边长为1，建立如图所示的坐标系，
则B（1，0），E（-1，1），故

AB

=（1，0），

AE

=（-1，1），
所以中

AP

=λ

AB

+μ

AE

=（λ-μ，μ），
对于①：当λ=μ=1时，

AP

=λ

AB

+μ

AE

=（0，1），此时点P与D重合，满足λ+μ=2，但P不是BC的中点，故①错误；
对于②：当λ=1，μ=0时，

AP

=（1，0），此时点P与B重合，满足λ+μ=1，
当λ=

1

2

，μ=

1

2

时，

AP

=（0，

1

2

），此时点P为AD的中点，满足λ+μ=1，
故满足λ+μ=1的点有且只有两个，故②正确；
对于③：当P∈AB时，有0≤λ-μ≤1，μ=0，可得0≤λ≤1，故有0≤λ+μ≤1，
当P∈BC时，有λ-μ=1，0≤μ≤1，所以0≤λ-1≤1，故1≤λ≤2，故1≤λ+μ≤3，
当P∈CD时，有0≤λ-μ≤1，μ=1，所以0≤λ-1≤1，故1≤λ≤2，故2≤λ+μ≤3，
当P∈AD时，有λ-μ=0，0≤μ≤1，所以0≤λ≤1，故0≤λ+μ≤2，
综上可得0≤λ+μ≤3，故C正确，
对于④：由③知，0≤λ+μ≤3，λ+μ的最小值为0，故④错误．
故答案为：②③．

点评：本题考查命题的真假判断与应用，着重考查平面向量的坐标运算，考查分析、运算与推理能力，属于难题．