Question

1．某人第一天8：00从A地开车出发，6小时后到达B地，第二天8：00从B地出发，沿原路6小时后返回A地．则在此过程中，以下说法中
①一定存在某个位置E，两天经过此地的时刻相同
②一定存在某个时刻，两天中在此刻的速度相同
③一定存在某一段路程EF（不含A、B），两天在此段内的平均速度相同．（以上速度不考虑方向）
正确说法的序号是①②．

Answer 1

分析 ①设函数s（t）表示此人第一天距离A地的路程，则其是一个不减的函数，设函数l（t）表示此人第二天距离A地的路程，则其是一个不增的函数，画出函数的大致图象，由图可知①正确；
②画出两天的速度（自变量为时间t）函数图象并求定积分（即与x轴围城的面积），由定积分相等可知两函数在（0，6）内必有交点可知②正确；
③结合题意举例说明错误．

解答 解：①、设函数s（t）表示此人第一天距离A地的路程，则其是一个不减的函数，设函数l（t）表示此人第二天距离A地的路程，则其是一个不增的函数，其中t表示时间，s（t）、l（t）的定义域都是[0，6]，值域相同．同一坐标系画出s（t）、l（t）的图象，必有一个交点，即两天中在此刻经过此点（如图1），故①正确；
②、画出两天的速度（自变量为时间t）函数图象并求定积分（即与x轴围城的面积），其几何意义就是路程，不可能一个总在另一个下方．在交点处时刻，他们的速度相等（如图2），故②正确；
③、在某个路程函数s（t）中，过s（t） 上一点作平行于t，s轴的矩形，如果四个顶点都在曲线上，则意味着速度的绝对值相等，（对角线就是割线，斜率就是平均速度），但不是每种函数曲线都能成功，图3 显示可以，函数模型就是两个一次函数，图4显示不成功，可以构造函数模型为（这里假定时间t∈（0，6）AB之间距离为4）$s（x）=\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{2}x，x∈（0，2）\\ \frac{3}{4}x-\frac{1}{2}，x∈[2，6）\end{array}\right.$，$l（x）=\left\{\begin{array}{l}-3x+4，x∈（0，1）\\-\frac{1}{5}（x-6），x∈[1，6）\end{array}\right.$．在这个图象上经计算，找不到这样的矩形，故③错误．
∴正确的说法是①②．
故答案为：①②．

点评 本题考查函数的图象，贴近生活，叙述简单，考察学生运用数学知识分析问题解决问题的能力，运用了数学建模思想，函数与方程思想，数形结合思想，对具体问题进行抽象思维，是中档题．