Question

13．在△ABC中，已知边c=10，又知$\frac{cosA}{cosB}=\frac{b}{a}=\frac{4}{3}$，
（1）判断△ABC的形状；
（2）求边a、b 的长．

Answer 1

分析 （1）由已知及正弦定理可得 $\frac{cosA}{cosB}=\frac{sinB}{sinA}$，变形为sin2A=sin2B，结合a≠b，可求A+B=$\frac{π}{2}$，即可判断△ABC的形状；
（2）由已知等式及勾股定理可得a²+b²=10²和$\frac{b}{a}=\frac{4}{3}$，即可解得a，b的值．

解答 解：（1）∵由已知可得$\frac{cosA}{cosB}=\frac{b}{a}$，利用正弦定理可得$\frac{sinB}{sinA}$=$\frac{b}{a}$，
∴可得 $\frac{cosA}{cosB}=\frac{sinB}{sinA}$，变形为sinAcosA=sinBcosB，
∴sin2A=sin2B，
又∵a≠b，
∴2A=π-2B，
∴A+B=$\frac{π}{2}$．
∴△ABC为直角三角形．
（2）∵由勾股定理可得：a²+b²=10²，
又∵$\frac{b}{a}=\frac{4}{3}$，
∴解得a=6，b=8．

点评 本题主要考查了正弦定理，二倍角的正弦函数公式，勾股定理在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．