Question

已知直线l：y=4x+a和曲线C：f（x）=x³-2x²+3相切．
（1）求a的值；
（2）求切点的坐标．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：计算题,导数的概念及应用,直线与圆

分析：设切点为（m，n），则4m+a=n，n=m³-2m²+3，求出导数，再由切线的斜率，得到方程，即可解得m，进而得到n，a．

解答： 解：设切点为（m，n），则4m+a=n，
n=m³-2m²+3，
又f（x）=x³-2x²+3的导数为f′（x）=3x²-4x，
由于直线l：y=4x+a和曲线C：f（x）=x³-2x²+3相切，
则f′（m）=4，即有3m²-4m=4，解得，m=2或m=-

2

3

，
则m=2，n=3，a=-5或m=-

2

3

，n=

49

27

，a=

121

27

．
则（1）a=-5或

121

27

；
（2）切点为（2，3），或（-

2

3

，

49

27

）．

点评：本题考查导数的几何意义：曲线在该点处切线的斜率，考查直线的斜率及解方程的运算，属于基础题．