Question

已知函数f（x）=

x2+a

x+b

，（a，b∈R），若f（x）为奇函数，且f（1）=5．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）用定义判断f（x）在（0，+∞）上的单调性，并写出相应的单调区间．

Answer 1

考点：函数解析式的求解及常用方法,函数单调性的判断与证明

专题：函数的性质及应用

分析：（1）

x2+a

-x+b

=-

x2+a

x+b

，得出b=0，f（1）=5得出a=4，
（2）设变量，作差分解因式f（x₁）-f（x₂）=（x₁-x₂）

x1x2-4

x1x2

可判断单调性．

解答： （1）解：∵函数f（x）=

x2+a

x+b

，（a，b∈R），若f（x）为奇函数，
∴f（-x）=-f（x），
即

x2+a

-x+b

=-

x2+a

x+b

，
b=0，
∵f（1）=5．
∴a=4，
∴f（x）=x+

4

x

，
（2）f（x）=x+

4

x

的函数图象，（0，2）（-2，0）上单调递减，（2，+∞）（-∞，-2）上单调递增，
证明：∵设0＜x₁＜x₂＜2，0＜x₁x₂＜4
f（x₁）-f（x₂）=（x₁-x₂）

x1x2-4

x1x2

＞0，
∴f（x₁）＞f（x₂），
∴在（0，2）上单调递减，
∵设2＜x₁＜x₂，x₁x₂＞4，x₁x₂-4＞0，
f（x₁）-f（x₂）=（x₁-x₂）

x1x2-4

x1x2

＜0
∴f（x₁）＜f（x₂），
∴在（2，+∞）上单调递增，

点评：本题考查了函数的性质，单调性的判断，属于基础题，掌握好因式分解是关键．