Question

下列不等式一定成立的是（　　）

• A、lg（x²+

  1

  4

  ）＞lgx（x＞0）
• B、

  x2+5

  x2+4

  ≥2
• C、x²+1≥2|x|（x∈R）
• D、

  1

  x2+1

  ＞1（x∈R）

Answer 1

考点：基本不等式

专题：不等式的解法及应用

分析：A．当x=

1

2

时，lg(x2+

1

4

)=lgx；
B.

x2+4+1

x2+4

=

x2+4

+

1

x2+4

，令

x2+4

=t≥2，则f（t）=t+

1

t

，利用导数研究函数的单调性即可得出；
C．由（|x|-1）²≥0，可得x²+1≥2|x|．
D．由于x²≥0，可得

1

x2+1

≤1．

解答： 解：A．当x=

1

2

时，lg(x2+

1

4

)=lgx，因此不成立；
B.

x2+4+1

x2+4

=

x2+4

+

1

x2+4

，
令

x2+4

=t≥2，则f（t）=t+

1

t

，f′(t)=1-

1

t2

=

t2-1

t2

＞0．
∴f（t）≥2+

1

2

=

5

2

，因此不正确．
C．∵（|x|-1）²≥0，∴x²+1≥2|x|，正确．
D．∵x²≥0，∴

1

x2+1

≤1，因此不正确．
故选：C．

点评：本题考查了基本不等式的性质、利用导数研究函数的单调性，使用基本不等式时注意“一正二定三相等”的法则，属于基础题．