题目内容

设经过抛物线C的焦点的直线l与抛物线C交于A、B两点，那么抛物线C的准线与以AB为直径的圆的位置关系为（　　）
A、相离B、相切
C、相交但不经过圆心D、相交且经过圆心
考点：抛物线的简单性质
专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程
分析：取AB的中点M，分别过A、B、M作准线的垂线AP、BQ、MN，垂足分别为P、Q、N，作出图形，利用抛物线的定义及梯形的中位线性质可推导，|MN|=
1
2
|AB|，从而可判断圆与准线的位置关系．
解答： 解：取AB的中点M，分别过A、B、M作准线的垂线AP、BQ、MN，垂足分别为P、Q、N，如图所示：
由抛物线的定义可知，|AP|=|AF|，|BQ|=|BF|，
在直角梯形APQB中，|MN|=
1
2
（|AP|+|BQ|）=
1
2
（|AF|+|BF|）=
1
2
|AB|，
故圆心M到准线的距离等于半径，
∴以AB为直径的圆与抛物线的准线相切，
故选：B．
点评：本题以抛物线为载体，考查抛物线过焦点弦的性质，关键是正确运用抛物线的定义，合理转化，综合性强．
练习册系列答案
相关题目
已知双曲线E：
x2
a2
-
y2
4
=1（a＞0）的中心为原点O，左，右焦点分别为F1，F2，离心率为
3
5
5
，点P是直线x=
a2
3
上任意一点，点Q在双曲线E上，且满足
PF2
•
QF2
=0．
（1）求实数a的值；
（2）证明：直线PQ与直线OQ的斜率之积是定值；
（3）若点P的纵坐标为1，过点P作动直线l与双曲线右支交于不同两点M，N，在线段MN上取异于点M，N的点H，满足
|PM|
|PN|
=
|MH|
|HN|
，证明点H恒在一条定直线上．
给出下列五个命题：
①若
AB
=
DC
，则A、B、C、D四点是平行四边形的四个顶点；
②已知非零向量
AB
与
AC
满足（
AB
|
AB
|
+
AC
|AC|
）•
BC
=0，且
AB
|
AB
|
•
AC
|AC|
=
1
2
，则△ABC为等边三角形；
③已知向量
a
=(-2，1)，
b
=(-3，0)，则
a
在
b
方向上的投影为2；
④y=sin|x|的周期为π；
⑤若向量
m
∥
n
，
n
∥
k
，则向量
m
∥
k
．
其中不正确的命题是
 
．
已知变量x，y满足条件
x≥0
y≤-x+3
y≥2x
，则
y
x-2
的取值范围是
 
．
若
m2x-1
mx+1
＜0（m≠0）对一切x≥4恒成立，则实数m的取值范围是
 
．
函数f(x)=tan(
π
4
x)+log
1
2
(x-
1
2
)-|tan(
π
4
x)-log
1
2
(x-
1
2
)|在区间(
1
2
，2)上的图象大致为（　　）
A、
B、
C、
D、
已知复数z=
2
1-i
，给出下列四个结论：①|z|=2；②z2=2i；③z的共轭复数是
.
z
=-1+i；④z的虚部为i．其中正确结论的个数是（　　）
A、0B、1C、2D、3
若平面区域Ω：
2x-y+2≥0
y-2≤0
y≥k(x+1)
的面积为3，则实数k的值为（　　）
A、
1
3
B、
1
2
C、
4
5
D、
3
2
设a是实数，且f（x）=a-
2
2x+1
（x∈R），若函数f（x）为奇函数，求a的值．

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